définition :
soit \(f:]a,b[\to\Bbb R\) (\(-\infty\leqslant a\lt b\leqslant+\infty\)) et soit \(x_0\in]a,b[\)
on dit que \(f\) est dérivable en \(x_0\) si la fonction $$\begin{align}]a,b[\setminus\{x_0\}&\longrightarrow\Bbb R\\ x&\longmapsto\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\end{align}$$ admet une limite en \(x_0\)
Dans ce cas, on note $${{f'(x_0)}}={{\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }}$$ et \(f'(x_0)\) s'appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\)
(Taux d’accroissement, Limite)
On dit que \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\) si \(f\) est dérivable en tout point \(x\in]a,b[\) et on peut alors définir la dérivée de \(f\) : $$\begin{align}f':]a,b[&\longrightarrow\Bbb R\\ x&\longmapsto f'(x)\end{align}$$
Remarque : $$\begin{align}&{{f\text{ dérivable en }x_0}}\\ {{\implies}}&{{f\text{ continue en }x_0}}\end{align}$$
(Continuité)
